back Determinando o preço de um produto

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publication: July 06 2018 08:50
last update: July 06 2018 08:50

Suponha que um vendedor de paçoca venda seu produto a R$ 5,00 e que no mês de junho, durante as festas juninas, ele fez uma promoção e vendeu cada paçoca a R$ 4,00. Nesse período ele notou que vendeu 30 unidades a mais que as 100 que costumava vender por mês.

Como podemos ajudar nosso amigo vendedor a determinar o preço da paçoca de modo a obter o maior faturamento possível? De outro modo, qual deve ser o desconto ideal para que a faturamento do vendedor seja máximo?

Vamos assumir que a relação entre o preço e o número de unidades vendidas se mantenha, ou seja, que cada R$ 1,00 de desconto resulte em 30 unidades vendidas a mais. Vejamos alguns números:

Preço unitário Vendas Faturamento do mês
R$ 2,00 190 R$ 380,00
R$ 3,00 160 R$ 480,00
R$ 4,00 130 R$ 520,00
R$ 5,00 100 R$ 500,00
R$ 6,00 70 R$ 420,00
R$ 7,00 40 R$ 280,00

Observe que são vendidas \(100+30x\) unidades sempre que reduzimos \(x\) reais no preço unitário da paçoca. Dessa forma, se o preço unitário for \(5-x\), serão vendidos \(100+30x\) unidades e o faturamento será de \((100+30x)(5-x)\) reais.

Como

$$(100+30x)(5-x) = 500-100x+150x-30x^2 = 500+50x-30x^2$$

a função quadrática \(F(x) = 500+50x-30x^2\) nos dá o faturamento obtido a cada \(x\) reais de desconto no preço inicial de R$ 5,00.

Para resolver nosso problema, basta descobrir para qual valor de \(x\) (desconto ideal) a função \(F\) atinge seu valor máximo (maior faturamento possível). Completanto o quadrado:

$$F(x) = 500+50x-30x^2 = -30\left(x-\frac{5}{6}\right)^2 + \frac{3125}{6}$$

Mas, \(\left(x-\frac{5}{6}\right)^2 \ge 0\), pois o quadrado de qualquer número real é sempre \(\ge 0\). Assim, \(-30\left(x-\frac{5}{6}\right)^2 \le 0\) qualquer que seja o número real \(x\).

Logo, o maior valor alcançado por \(F\) é \(\frac{3125}{6} \approx 520,83\) e é obtido quando \(-30\left(x-\frac{5}{6}\right)^2=0 \Rightarrow x=\frac{5}{6} \approx 0,83\).

Portanto, ao dar um desconto de R$ 0,83, ou seja, ao vender suas paçocas a R$ 4,17, nosso amigo vendedor obterá o maior faturamento possível ao final do mês.

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